63. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Используя формулу S△ = ½ab sin γ, докажите, что S_AOB · S_COD = S_BOC · S_AOD.

Обозначим длины отрезков диагоналей через \(AO=p\), \(OC=q\), \(BO=r\), \(OD=s\), а угол между диагоналями — через \(\theta\). Вертикальные углы равны, поэтому площади четырёх треугольников выражаются через один и тот же множитель \(\frac12\sin\theta\):

\(S_{AOB}=\frac12pr\sin\theta,\quad S_{COD}=\frac12qs\sin\theta,\)

\(S_{BOC}=\frac12rq\sin\theta,\quad S_{AOD}=\frac12sp\sin\theta.\)

Перемножим площади в каждой части равенства:

\(S_{AOB}S_{COD}=\frac14pqrs\sin^2\theta,\)

\(S_{BOC}S_{AOD}=\frac14pqrs\sin^2\theta.\)

Полученные произведения равны, следовательно, \(S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{AOD}\).