633. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол 30° с плоскостью боковой грани и угол 45° с боковым ребром. Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через a, b, c, а диагональ — через d. По условию d = 18 см.

1. Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 30°. Перпендикулярная к этой грани составляющая диагонали равна одному из рёбер:

   \(a=d\sin 30^\circ=18\cdot\frac{1}{2}=9\) см.

2. Угол между диагональю и боковым ребром равен 45°. Поэтому соответствующее ребро равно:

   \(b=d\cos 45^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}\) см.

3. По теореме Пифагора для пространственной диагонали:

   \(d^2=a^2+b^2+c^2\).

   \(c^2=18^2-9^2-(9\sqrt{2})^2=324-81-162=81\),

   \(c=9\) см.

4. Найдём объём:

   \(V=abc=9\cdot9\sqrt{2}\cdot9=729\sqrt{2}\) см³.

Ответ: \(729\sqrt{2}\) см³.