637. В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что: а) если угол A острый, то BC² = AB² + AC² − 2AC · AH; б) если угол A тупой, то BC² = AB² + AC² + 2AC · AH.

а) Угол A острый. Тогда H лежит на отрезке AC, поэтому CH = AC − AH. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABH и CBH:

AB² = AH² + BH²,   BC² = CH² + BH².

Подставим CH = AC − AH и выразим BH² из первого равенства:

BC² = (AC − AH)² + BH² = AC² − 2AC · AH + AH² + BH² = AB² + AC² − 2AC · AH.

б) Угол A тупой. Тогда H лежит на продолжении AC за точку A, поэтому CH = AC + AH. По теореме Пифагора:

AB² = AH² + BH²,   BC² = CH² + BH².

Подставим CH = AC + AH и выразим BH²:

BC² = (AC + AH)² + BH² = AC² + 2AC · AH + AH² + BH² = AB² + AC² + 2AC · AH.

Что и требовалось доказать в обоих случаях.