64. Составьте математические модели и решите с их помощью следующие задачи. а) Моторная лодка прошла против течения реки 226 км и вернулась в пункт отправления, затратив на 2 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.

Пусть \(v\) км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость против течения равна \(v-1\) км/ч, а по течению — \(v+1\) км/ч.

Время пути против течения: \(\frac{226}{v-1}\) ч. Время возвращения по течению: \(\frac{226}{v+1}\) ч. По условию на обратный путь лодка затратила на 2 ч меньше:

\[\frac{226}{v-1}-\frac{226}{v+1}=2.\]

Решим уравнение, учитывая, что \(v>1\):

\[\frac{226(v+1)-226(v-1)}{(v-1)(v+1)}=2,\]

\[\frac{452}{v^2-1}=2,\qquad v^2-1=226,\qquad v^2=227.\]

Исправление: в числителе при вычитании дробей получается \(226((v+1)-(v-1))=452\), поэтому из уравнения следует \(v^2-1=226\), то есть \(v^2=227\). Следовательно, \(v=\sqrt{227}\approx15.07\) км/ч (отрицательное значение не подходит).

Ответ: скорость лодки в неподвижной воде — \(\sqrt{227}\) км/ч, приблизительно 15,07 км/ч.