642. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Пусть AD - биссектриса треугольника ABC. Нужно доказать, что \(\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}\). Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Проведем высоту из вершины A на сторону BC, обозначим ее AH. Площадь треугольника ABD можно выразить как \(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH\), а площадь треугольника ACD как \(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH\). Также, площади этих треугольников могут быть выражены с помощью синуса угла: \(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)\) и \(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)\). Так как AD - биссектриса, то \(\angle BAD = \angle CAD\), следовательно, \(\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)\). Теперь составим отношение площадей \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH} = \frac{BD}{CD}\). Также, из равенства площадей с синусами \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)} = \frac{AB}{AC}\). Таким образом, \(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\), или переписав это выражение \(\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}\), что и требовалось доказать.