648. б) \(\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{10-2\sqrt{21}}} - \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}\)

Решение:

Упростим выражения под корнями:

\( \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1 \)

\( \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1 \)

\( \sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{3} \)

\( \sqrt{10+2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}+\sqrt{3} \)

Подставим упрощенные выражения в исходное:

\( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \)

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{7}+\sqrt{3}) - (\sqrt{3}-1)(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} \)

\( = \frac{(\sqrt{21}+3+\sqrt{7}+\sqrt{3}) - (\sqrt{21}-3-\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} \)

\( = \frac{\sqrt{21}+3+\sqrt{7}+\sqrt{3} - \sqrt{21}+3+\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4} \)

\( = \frac{6+2\sqrt{7}}{4} = \frac{3+\sqrt{7}}{2} \)

Ответ: \( \frac{3+\sqrt{7}}{2} \).