649 Найдите объем куба ABCDA,B,C,D, если: a) АС = 12 см; б) AC = 3√2 м; в) DE = 1 см, где Е - середина ребра АВ.

Решение:

Объем куба вычисляется по формуле \( V = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба.

а) Если \( AC = 12 \) см:

В кубе \( AC \) — это диагональ грани. Диагональ квадрата (грани куба) связана со стороной формулой \( d = a\sqrt{2} \).

Отсюда, \( a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \) см.

Тогда объем куба: \( V = a^3 = (6\sqrt{2})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 216 \cdot 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2} \) см³.

б) Если \( AC = 3\sqrt{2} \) м:

Аналогично предыдущему пункту, находим длину ребра:

\( a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \) м.

Тогда объем куба: \( V = a^3 = 3^3 = 27 \) м³.

в) Если \( DE = 1 \) см, где \( E \) — середина ребра \( AB \):

Рассмотрим грань \( ABCD \). \( A = (0, 0, 0) \), \( B = (a, 0, 0) \), \( C = (a, a, 0) \), \( D = (0, a, 0) \), \( A_1 = (0, 0, a) \), \( B_1 = (a, 0, a) \), \( C_1 = (a, a, a) \), \( D_1 = (0, a, a) \).

Точка \( E \) — середина ребра \( AB \), значит, \( E = (\frac{a}{2}, 0, 0) \).

Найдем квадрат расстояния между точками \( D(0, a, 0) \) и \( E(\frac{a}{2}, 0, 0) \):

\( DE^2 = (\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - a)^2 + (0 - 0)^2 = (\frac{a}{2})^2 + (-a)^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{5a^2}{4} \).

По условию \( DE = 1 \) см, значит \( DE^2 = 1^2 = 1 \) см².

\( \frac{5a^2}{4} = 1 \)

\( a^2 = \frac{4}{5} \)

\( a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \) см.

Тогда объем куба: \( V = a^3 = (\frac{2\sqrt{5}}{5})^3 = \frac{2^3 \cdot (\sqrt{5})^3}{5^3} = \frac{8 \cdot 5\sqrt{5}}{125} = \frac{40\sqrt{5}}{125} = \frac{8\sqrt{5}}{25} \) см³.

Ответ: а) \( 432\sqrt{2} \) см³; б) \( 27 \) м³; в) \( \frac{8\sqrt{5}}{25} \) см³.