64x^3 + 16x^2 - 4x - 1 / 9x^2 - 18 * 3x^2 + 81 <= 0

Question

Вопрос:

64x^3 + 16x^2 - 4x - 1 / 9x^2 - 18 * 3x^2 + 81 <= 0

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этим неравенством вместе.

Нам нужно решить неравенство:

\[ \frac{64x^3 + 16x^2 - 4x - 1}{9x^2 - 18 \cdot 3x^2 + 81} \le 0 \]

Сначала упростим знаменатель:

\[ 9x^2 - 18 \cdot 3x^2 + 81 = 9x^2 - 54x^2 + 81 = -45x^2 + 81 \]

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ \frac{64x^3 + 16x^2 - 4x - 1}{-45x^2 + 81} \le 0 \]

Чтобы дробь была меньше или равна нулю, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки (или числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).

1. Найдем корни числителя:

\[ 64x^3 + 16x^2 - 4x - 1 = 0 \]

Это кубическое уравнение. Попробуем сгруппировать члены:

\[ 16x^2(4x+1) - 1(4x+1) = 0 \]

\[ (16x^2 - 1)(4x+1) = 0 \]

Раскладываем разность квадратов:

\[ (4x-1)(4x+1)(4x+1) = 0 \]

\[ (4x-1)(4x+1)^2 = 0 \]

Корни числителя:

\[ 4x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \]

\[ 4x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{4} \]

2. Найдем корни знаменателя:

\[ -45x^2 + 81 = 0 \]

\[ 45x^2 = 81 \]

\[ x^2 = \frac{81}{45} = \frac{9}{5} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{9}{5}} = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5} \]

Приблизительные значения корней знаменателя: $ \frac{3 \times 2.236}{5} \approx \frac{6.708}{5} \approx 1.34 $ и $ -1.34 $.

3. Отметим корни на числовой оси и определим знаки:

У нас есть корни: $ -\frac{1}{4} $ (кратности 2), $ \frac{1}{4} $ (кратности 1), $ -\frac{3\sqrt{5}}{5} $ (кратности 1), $ \frac{3\sqrt{5}}{5} $ (кратности 1).

Порядком следования корней слева направо:

\[ -\frac{3\sqrt{5}}{5} < -\frac{1}{4} < \frac{1}{4} < \frac{3\sqrt{5}}{5} \]

При $ x > \frac{3\sqrt{5}}{5} $, например, при $ x=2 $:

Числитель: $ 64(2)^3 + 16(2)^2 - 4(2) - 1 = 64(8) + 16(4) - 8 - 1 = 512 + 64 - 8 - 1 > 0 $

Знаменатель: $ -45(2)^2 + 81 = -45(4) + 81 = -180 + 81 < 0 $

Дробь: $ \frac{+}{-} = - $

Так как корень $ -\frac{1}{4} $ имеет четную кратность (2), знак на нем не меняется. Корень $ \frac{1}{4} $ имеет нечетную кратность (1), знак меняется. Корни знаменателя имеют нечетную кратность (1), знак меняется.

Знаки интервалов:

$ (\frac{3\sqrt{5}}{5}, \infty) $ — минус

$ (\frac{1}{4}, \frac{3\sqrt{5}}{5}) $ — плюс

$ (-1/4, 1/4) $ — минус (знак не меняется из-за кратности 2)

$ (-\frac{3\sqrt{5}}{5}, -1/4) $ — минус

$ (-\infty, -\frac{3\sqrt{5}}{5}) $ — плюс

4. Выбираем интервалы, где дробь $$\le 0$$:

Нам нужны интервалы со знаком минус, а также точки, где числитель равен нулю (так как $\le 0$).

Интервалы со знаком минус: $ (-\infty, -\frac{3\sqrt{5}}{5}) $, $ (-1/4, 1/4) $ (исключая $-1/4$), $ (\frac{3\sqrt{5}}{5}, \infty) $.

Точки, где числитель равен нулю: $ x = \frac{1}{4} $ и $ x = -\frac{1}{4} $.

Мы не можем включать корни знаменателя $ x = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5} $.

Объединяем:

\[ x \in (-\infty, -\frac{3\sqrt{5}}{5}) \cup \left[ -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right) \cup (\frac{3\sqrt{5}}{5}, \infty) \]

Уточнение: Для $ x = -1/4 $ числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. Поэтому $ x = -1/4 $ подходит. Для $ x = 1/4 $ числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. Поэтому $ x = 1/4 $ подходит.

Значит, интервал $ (-1/4, 1/4) $ будет $ [-1/4, 1/4] $.

Итоговый ответ:

\[ x \in (-\infty, -\frac{3\sqrt{5}}{5}) \cup \left[ -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right] \cup (\frac{3\sqrt{5}}{5}, \infty) \]

Ответ:
\[ x \in (-\infty, -\frac{3\sqrt{5}}{5}) \cup \left[ -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right] \cup (\frac{3\sqrt{5}}{5}, \infty) \]