65 Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114°; б) сумма трех углов равна 220°.

Краткое пояснение:

• При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Вертикальные углы равны, смежные углы в сумме дают 180°.

Решение:

• а) Пусть два пересекающихся угла равны $$\alpha$$ и $$\beta$$.
• Если эти углы смежные, то $$\alpha + \beta = 180°$$.
• Если эти углы вертикальные, то $$\alpha = \beta$$.
• Если данные углы не являются ни смежными, ни вертикальными, то их сумма может быть любой. Но в условиях задачи подразумевается, что данные углы как-то связаны.
• Предположим, что данная сумма $$114°$$ относится к двум смежным углам. Пусть один угол равен $$x$$, тогда второй $$180° - x$$.
• $$x + (180° - x) = 114°$$. Это условие не выполняется.
• Значит, 114° — это сумма двух смежных углов, которые примыкают к одному углу.
• Пусть $$x$$ и $$y$$ — два смежных угла, тогда $$x+y=180°$$.
• Пусть $$x$$ и $$z$$ — два пересекающихся угла, тогда $$z$$ — вертикальный к $$x$$, значит $$z=x$$.
• $$y$$ и $$w$$ — смежные углы. $$w$$ — вертикальный к $$y$$.
• При пересечении двух прямых образуются 4 угла. Углы 1 и 3 — вертикальные, углы 2 и 4 — вертикальные. Углы 1 и 2 — смежные, 2 и 3 — смежные, 3 и 4 — смежные, 4 и 1 — смежные.
• Пусть данная сумма $$114°$$ — это сумма двух смежных углов, например, $$\angle 1 + \angle 2 = 114°$$. Но смежные углы в сумме дают $$180°$$.
• Следовательно, $$114°$$ — это сумма двух углов, которые не являются смежными.
• Пусть $$\angle 1 = x$$. Тогда $$\angle 3 = x$$ (вертикальные).
• $$\angle 2 = y$$. Тогда $$\angle 4 = y$$ (вертикальные).
• $$\angle 1 + \angle 2 = 180°$$.
• Если сумма двух углов равна $$114°$$, это может быть:
• $$\angle 1 + \angle 2 = 114°$$ (невозможно, так как $$180°$$).
• $$\angle 1 + \angle 3 = 114°$$ (возможно, если $$\angle 1 = \angle 3 = 57°$$).
• $$\angle 1 + \angle 4 = 114°$$ (возможно).
• Если $$\angle 1 + \angle 3 = 114°$$, то $$x+x=114°$$, $$2x=114°$$, $$x=57°$$.
• Тогда $$\angle 1 = \angle 3 = 57°$$.
• $$\angle 2 = 180° - \angle 1 = 180° - 57° = 123°$$.
• $$\angle 4 = \angle 2 = 123°$$.
• Проверка: $$57° + 123° = 180°$$, $$57° + 57° = 114°$$.
• Ответ: 57°, 123°, 57°, 123°.
• б) Сумма трех углов равна $$220°$$.
• Пусть углы равны $$\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$$.
• $$\\angle 1 = \angle 3 = x$$, $$\angle 2 = \angle 4 = y$$.
• $$x+y=180°$$.
• Три угла могут быть:
• $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 220° \rightarrow x+y+x = 220° \rightarrow 180° + x = 220° \rightarrow x = 40°$$.
• Если $$x=40°$$, то $$y = 180° - 40° = 140°$$.
• Углы: $$40°, 140°, 40°, 140°$$.
• Проверка: $$40°+140°+40° = 220°$$.
• $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 4 = 220° \rightarrow x+y+y = 220° \rightarrow x + 2y = 220°$$.
• Подставим $$x=180°-y$$: $$(180°-y) + 2y = 220° \rightarrow 180°+y=220° \rightarrow y=40°$$.
• Если $$y=40°$$, то $$x = 180°-40° = 140°$$.
• Углы: $$140°, 40°, 140°, 40°$$.
• Проверка: $$140°+40°+40° = 220°$$.
• Ответ: 40°, 140°, 40°, 140°.