65. Точка P — середина стороны AB треугольника ABC, PM ∥ AC. Докажите, что отрезок PM — средняя линия треугольника ABC. Доказательство с пропусками.

Предположим, что отрезок PM не является средней линией треугольника ABC. Тогда точка M не будет серединой стороны BC.

Пусть точка O — середина стороны BC. Тогда PO — средняя линия треугольника ABC, поэтому PO ∥ AC.

Через точку P проходят две прямые: PM и PO. Обе параллельны прямой AC, что противоречит аксиоме о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

Следовательно, исходное предположение неверно: отрезок PM является средней линией треугольника ABC. Что и требовалось доказать.