652. Решить неравенство: 1) (x – 2)(x + 4) > 0; 2) x²-9>0; 3) x² + 3x < 0; 4) x²-2x-3>0.

Решение:

1. 1) \( (x - 2)(x + 4) > 0 \)
   Корни уравнения \( (x - 2)(x + 4) = 0 \) равны \( x = 2 \) и \( x = -4 \).
   Метод интервалов: изобразим корни на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале.
   \( \frac{{+}}{{-4}}\frac{{-}}{{2}}\frac{{+}}{{}} \)
   Неравенство \( > 0 \) выполняется при \( x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \).
2. 2) \( x^2 - 9 > 0 \)
   Разложим на множители: \( (x - 3)(x + 3) > 0 \).
   Корни уравнения \( (x - 3)(x + 3) = 0 \) равны \( x = 3 \) и \( x = -3 \).
   Используя метод интервалов:
   \( \frac{{+}}{{-3}}\frac{{-}}{{3}}\frac{{+}}{{}} \)
   Неравенство \( > 0 \) выполняется при \( x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \).
3. 3) \( x^2 + 3x < 0 \)
   Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x + 3) < 0 \).
   Корни уравнения \( x(x + 3) = 0 \) равны \( x = 0 \) и \( x = -3 \).
   Используя метод интервалов:
   \( \frac{{+}}{{-3}}\frac{{-}}{{0}}\frac{{+}}{{}} \)
   Неравенство \( < 0 \) выполняется при \( x \in (-3; 0) \).
4. 4) \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)
   Найдём корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
   Парабола \( y = x^2 - 2x - 3 \) ветвями вверх. Неравенство \( > 0 \) выполняется вне корней.
   \( x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) \).

Ответ: 1) \( x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \); 2) \( x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \); 3) \( x \in (-3; 0) \); 4) \( x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) \).