654. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Пусть стороны первого треугольника равны \(a, b, c\), а соответствующие стороны второго — \(a_1, b_1, c_1\). Обозначим коэффициент подобия первого треугольника ко второму через \(k\). Тогда по определению подобия:

\(\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}=\dfrac{c}{c_1}=k\), то есть \(a=ka_1\), \(b=kb_1\), \(c=kc_1\).

Периметры треугольников: \(P=a+b+c\) и \(P_1=a_1+b_1+c_1\). Подставим выражения для сторон:

\(P=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=kP_1\).

Следовательно, \(\dfrac{P}{P_1}=k\): отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.