66.3. 2) В треугольнике ABC AC = b, ∠A = α, ∠B = β, точка D лежит на стороне AC. ∠BDC = γ. Найдите длину отрезка BD.

Так как точка D лежит на стороне AC, то \(\angle BCD=\angle BCA\).

1. Найдём угол C исходного треугольника: \(\angle BCA=180^\circ-\alpha-\beta\).
2. По теореме синусов для треугольника ABC: \(\dfrac{BC}{\sin\alpha}=\dfrac{AC}{\sin\beta}\), поэтому \(BC=\dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\).
3. В треугольнике BDC: \(\angle CBD=180^\circ-\gamma-(180^\circ-\alpha-\beta)=\alpha+\beta-\gamma\).
4. По теореме синусов для треугольника BDC: \(\dfrac{BD}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}=\dfrac{BC}{\sin\gamma}\).
5. Так как \(\sin(180^\circ-\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta)\), получаем \(BD=\dfrac{BC\sin(\alpha+\beta)}{\sin\gamma}\).
6. Подставим выражение для BC: \[BD=\dfrac{b\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta\sin\gamma}.\]

Ответ: \(BD=\dfrac{b\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta\sin\gamma}\).