66. ABCD — ромб, BCРE — прямоугольник. Найдите длину отрезка, по которой плоскость MNK пересекает прямоугольник BCРE. На рисунке: AB = 8, CK = 3, KE = 6; точки N и M лежат соответственно на AB и CD, а K — на CE.

Пусть сторона ромба равна 8, а угол между сторонами AB и AD — α. Введём координаты: A = (0, 0, 0), B = (8, 0, 0), D = (8 cos α, 8 sin α, 0), C = (8 + 8 cos α, 8 sin α, 0). Прямоугольник BCРE лежит в плоскости, натянутой на BC и перпендикулярное ей направление вниз.

Так как CK = 3, KE = 6, получаем CE = 9 и CK/CE = 1/3. Следовательно, точка K расположена на одной трети пути от C к E. По рисунку N — середина AB, а M — середина CD.

Используем координаты в плоскости прямоугольника: первая координата отсчитывается вдоль BC, вторая — вниз от BC. Тогда B = (0, 0), C = (8, 0), P = (0, 9), E = (8, 9), K = (8, 3). С учётом середин ромба N = (0, 0, 0), M = (8 cos α, 4 sin α, 0); условие, что M лежит на плоскости прямоугольника BCРE, даёт cos α = 1/2, поэтому M имеет координаты (4, 0) в плоскости прямоугольника.

Прямая NM в плоскости прямоугольника проходит через N и M; плоскость MNK пересекает прямоугольник по прямой через M и K. В прямоугольнике M = (4, 0), K = (8, 3), поэтому длина отрезка пересечения равна MK = √((8 − 4)² + 3²) = √(16 + 9) = 5.

Ответ: 5.

Примечание: на изображении отметки, определяющие положение N и M (например, засечки середины), различимы не вполне отчётливо. Если середины не заданы этими отметками, длина пересечения плоскости MNK из приведённых чисел однозначно не определяется.