66 На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: a) <2+/4=220°; б) 3(∠1+3)=∠2+/4; B) 2-1=30°.

Краткое пояснение:

• При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Вертикальные углы равны, смежные углы в сумме дают 180°.

Решение:

• a) $$\angle 2 + \angle 4 = 220°$$.
• Так как $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$ — вертикальные углы, то $$\angle 2 = \angle 4$$.
• Следовательно, $$2\angle 2 = 220°$$, откуда $$\angle 2 = 110°$$.
• Тогда $$\angle 4 = 110°$$.
• $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ — смежные углы, поэтому $$\angle 1 + \angle 2 = 180°$$.
• $$\angle 1 = 180° - \angle 2 = 180° - 110° = 70°$$.
• $$\angle 3$$ — вертикальный к $$\angle 1$$, поэтому $$\angle 3 = \angle 1 = 70°$$.
• Ответ: $$\angle 1 = 70°, \angle 2 = 110°, \angle 3 = 70°, \angle 4 = 110°$$.

• б) $$3(\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4$$.
• Так как $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$ — вертикальные углы, то $$\angle 1 = \angle 3$$.
• Пусть $$\angle 1 = \angle 3 = x$$. Тогда $$3(x+x) = \angle 2 + \angle 4$$.
• $$3(2x) = \angle 2 + \angle 4 ightarrow 6x = \angle 2 + \angle 4$$.
• Также $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$ — вертикальные углы, поэтому $$\angle 2 = \angle 4$$.
• Пусть $$\angle 2 = \angle 4 = y$$. Тогда $$6x = y+y ightarrow 6x = 2y ightarrow 3x = y$$.
• $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ — смежные углы, поэтому $$\angle 1 + \angle 2 = 180°$$.
• $$x+y=180°$$.
• Подставим $$y=3x$$ в уравнение $$x+y=180°$$:
• $$x+3x=180° ightarrow 4x=180° ightarrow x=45°$$.
• Тогда $$\angle 1 = \angle 3 = 45°$$.
• $$y=3x = 3 imes 45° = 135°$$.
• $$\angle 2 = \angle 4 = 135°$$.
• Ответ: $$\angle 1 = 45°, \angle 2 = 135°, \angle 3 = 45°, \angle 4 = 135°$$.

• в) $$\angle 2 - \angle 1 = 30°$$.
• $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ — смежные углы, поэтому $$\angle 1 + \angle 2 = 180°$$.
• У нас есть система уравнений:
• $$\\angle 2 - \angle 1 = 30°$$
• $$\\angle 1 + \angle 2 = 180°$$
• Сложим два уравнения:
• $$(\angle 2 - \angle 1) + (\angle 1 + \angle 2) = 30° + 180°$$
• $$2\angle 2 = 210° ightarrow \angle 2 = 105°$$.
• Найдем $$\angle 1$$:
• $$\angle 1 = 180° - \angle 2 = 180° - 105° = 75°$$.
• $$\angle 3$$ — вертикальный к $$\angle 1$$, поэтому $$\angle 3 = \angle 1 = 75°$$.
• $$\angle 4$$ — вертикальный к $$\angle 2$$, поэтому $$\angle 4 = \angle 2 = 105°$$.
• Ответ: $$\angle 1 = 75°, \angle 2 = 105°, \angle 3 = 75°, \angle 4 = 105°$$.