66. В треугольнике ABC стороны AB = BC = 5 м, AC = 8 м, медиана AK и биссектриса BH пересекаются в точке M. Найдите BM и AK.

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Биссектриса BH, проведённая к основанию, является также высотой и медианой. Значит, BH ⟂ AC и AH = HC = 8 : 2 = 4 м.

Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому BM = 2MH, а AM = 2MK.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора:

BH² = AB² − AH² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9 (м²), поэтому BH = 3 м.

Тогда MH = BH / 3 = 1 м, а BM = 2MH = 2 м.

В прямоугольном треугольнике AMH: AM² = AH² + MH² = 4² + 1² = 16 + 1 = 17 (м²), откуда AM = √17 м.

Поскольку AM = ⅔ AK, получаем AK = 3/2 · AM = 3√17/2 м.

Ответ: BM = 2 м, AK = 3√17/2 м.