66. Воспользовавшись данными на рисунках, найдите площадь треугольника МРТ: а) MT = 8, PT = 4, внешний угол MTO = 120°; б) PT = 4, ∠T = 45°, ∠M и ∠P отмечены одинаковыми дугами; в) PM = 6, MT = √2, ∠M = 135°; г) PT = 5, все углы отмечены одинаковыми дугами.

Используем формулу площади по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12 ab\sin C\).

1. а) Углы \(\angle MTO\) и \(\angle MTP\) смежные, поэтому \(\angle T=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Тогда \(S=\frac12\cdot MT\cdot PT\cdot\sin T=\frac12\cdot8\cdot4\cdot\sin60^\circ=8\sqrt3\).

2. б) По отметкам \(\angle M=\angle P\). Так как \(\angle T=45^\circ\), то \(\angle M+\angle P=135^\circ\), следовательно, \(\angle M=\angle P=67.5^\circ\). Равным углам противолежат равные стороны, поэтому \(MT=PT=4\). Тогда \(S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin45^\circ=4\sqrt2\).

3. в) Стороны \(PM=6\) и \(MT=\sqrt2\) заключают угол \(M=135^\circ\). Поэтому \(S=\frac12\cdot6\cdot\sqrt2\cdot\sin135^\circ=3\).

4. г) По отметкам все три угла равны, значит, каждый равен \(60^\circ\), а треугольник равносторонний. Поэтому \(PT=5\), \(PM=MT=5\), и \(S=\frac12\cdot5\cdot5\cdot\sin60^\circ=\frac{25\sqrt3}{4}\).

Ответ: а) \(8\sqrt3\); б) \(4\sqrt2\); в) \(3\); г) \(\frac{25\sqrt3}{4}\).