662. Точки M, N и P лежат соответственно на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, причём MN ∥ AC, NP ∥ AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) AB = 10 см, AC = 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) AM = AP, AB = a, AC = b.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Так как MN ∥ AC, то треугольники BMN и BAC подобны. Поэтому

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{AC}\).

Обозначим \(\dfrac{AM}{AB}=x\). Тогда из параллельности NP ∥ AB получаем:

\(AM=x\cdot AB,\quad MN=x\cdot AC,\quad NP=(1-x)\cdot AB,\quad AP=(1-x)\cdot AC.\)

а)

По условию:

\[\frac{PN}{MN}=\frac{(1-x)\cdot 10}{x\cdot 15}=\frac{2}{3}.\]

\(30(1-x)=30x\), откуда \(x=\dfrac12\).

Следовательно:

\(AM=\dfrac12\cdot10=5\) см;

\(MN=\dfrac12\cdot15=7.5\) см;

\(NP=\dfrac12\cdot10=5\) см;

\(AP=\dfrac12\cdot15=7.5\) см.

б)

По условию \(AM=AP\), поэтому

\[x a=(1-x)b.\]

Отсюда:

\[x(a+b)=b,\qquad x=\frac{b}{a+b}.\]

Тогда:

\[AM=x a=\frac{ab}{a+b},\qquad AP=\frac{ab}{a+b};\]

\[MN=x b=\frac{b^2}{a+b};\]

\[NP=(1-x)a=\frac{a^2}{a+b}.\]

Ответ: а) \(AM=NP=5\) см, \(MN=AP=7.5\) см; б) \(AM=AP=\dfrac{ab}{a+b}\), \(MN=\dfrac{b^2}{a+b}\), \(NP=\dfrac{a^2}{a+b}\).