665. Прямые a и b пересечены параллельными прямыми AA₁, BB₁, CC₁, причём точки A, B и C лежат на прямой a, а точки A₁, B₁ и C₁ — на прямой b. Докажите, что \(\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}\).

Проведём через точки A, B и C параллельные прямые, которые пересекают прямую b в точках A₁, B₁ и C₁.

1. По теореме о пропорциональных отрезках, отрезки, заключённые между параллельными прямыми на двух пересекающихся прямых, пропорциональны:
   \[\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}.\]
2. Следовательно, отношение длины отрезка AB к длине отрезка BC равно отношению длины отрезка A₁B₁ к длине отрезка B₁C₁.

Ответ: \(\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}\).