667 Подобны ли треугольники ABC и A₁B₁C₁, если: a) AB = 3 см, BC = 5 см, CA = 7 см, A₁B₁ = 4,5 см, B₁C₁ = 7,5 см, C₁A₁ = 10,5 см; б) AB = 1,7 см, BC = 3 см, CA = 4,2 см, A₁B₁ = 34 дм, B₁C₁ = 60 дм, C₁A₁ = 84 дм?

Решение:

Два треугольника подобны, если их соответствующие стороны пропорциональны.

а) Проверка подобия треугольников ABC и A₁B₁C₁

Дано:

• \( AB = 3 \text{ см}, BC = 5 \text{ см}, CA = 7 \text{ см} \)
• \( A_1B_1 = 4.5 \text{ см}, B_1C_1 = 7.5 \text{ см}, C_1A_1 = 10.5 \text{ см} \)

Проверим соотношение сторон:

• \( \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \)
• \( \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{7.5}{5} = 1.5 \)
• \( \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{10.5}{7} = 1.5 \)

Так как все соотношения равны ( \( 1.5 \)), то треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) подобны по третьему признаку подобия (по трём сторонам).

б) Проверка подобия треугольников ABC и A₁B₁C₁

Дано:

• \( AB = 1.7 \text{ см}, BC = 3 \text{ см}, CA = 4.2 \text{ см} \)
• \( A_1B_1 = 34 \text{ дм}, B_1C_1 = 60 \text{ дм}, C_1A_1 = 84 \text{ дм} \)

Переведём все измерения в сантиметры:

• \( A_1B_1 = 34 \text{ дм} = 340 \text{ см} \)
• \( B_1C_1 = 60 \text{ дм} = 600 \text{ см} \)
• \( C_1A_1 = 84 \text{ дм} = 840 \text{ см} \)

Проверим соотношение сторон:

• \( \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{340}{1.7} = 200 \)
• \( \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{600}{3} = 200 \)
• \( \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{840}{4.2} = 200 \)

Так как все соотношения равны ( \( 200 \)), то треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) подобны по третьему признаку подобия (по трём сторонам).

Ответ: а) Да, подобны. б) Да, подобны.