667. Решите уравнение: а) (4m² − 5)/(m − 3) = (2m + 1)/(m − 3); б) (3x + 20)/(x − 4) = (16 − 3x²)/(4 − x); в) (k² + k)/(4k + 32) = (6 − k)/(k + 8); г) a/(3a + 5) − (4a + 15)/(2a) = 0; д) (4m − 1)/(m + 2) + (3 − m)/(2m − 4) = 0; е) (2 − 3x)/(6x − 1) + (1 − 9x)/(1 + 3x) = 0.

1. а) \(m\ne 3\). Знаменатели равны и не равны нулю, поэтому:

   \(4m^2-5=2m+1\),

   \(2m^2-m-3=0=(2m-3)(m+1)\).

   Оба корня допустимы: \(m=\frac{3}{2}\) или \(m=-1\).

2. б) \(x\ne 4\). Так как \(4-x=-(x-4)\), умножение уравнения на \(x-4\) даёт:

   \(3x+20=-(16-3x^2)\),

   \(3x^2-3x-36=0\),

   \(3(x-4)(x+3)=0\).

   Корень \(x=4\) запрещён. Значит, \(x=-3\).

3. в) \(k\ne -8\). Поскольку \(4k+32=4(k+8)\), умножим обе части на \(4(k+8)\):

   \(k^2+k=4(6-k)\),

   \(k^2+5k-24=0=(k+8)(k-3)\).

   Корень \(k=-8\) запрещён; остаётся \(k=3\).

4. г) Ограничения: \(a\ne -\frac{5}{3},\;a\ne 0\). Умножим уравнение на \(2a(3a+5)\):

   \(2a^2-(4a+15)(3a+5)=0\),

   \(2a^2+13a+15=0=(2a+3)(a+5)\).

   Оба корня допустимы: \(a=-\frac{3}{2}\) или \(a=-5\).

5. д) Ограничения: \(m\ne -2,\;m\ne 2\). Умножим уравнение на \(2(m+2)(m-2)\):

   \(2(4m-1)(m-2)+(3-m)(m+2)=0\),

   \(7m^2-17m+10=0=(7m-10)(m-1)\).

   Оба корня допустимы: \(m=\frac{10}{7}\) или \(m=1\).

6. е) Ограничения: \(x\ne \frac{1}{6},\;x\ne -\frac{1}{3}\). Умножим на \((6x-1)(1+3x)\):

   \((2-3x)(1+3x)+(1-9x)(6x-1)=0\),

   \(63x^2-18x-1=0\),

   \((7x-3)(9x+1)=0\).

   Оба корня допустимы: \(x=\frac{3}{7}\) или \(x=-\frac{1}{9}\).

Ответ: а) \(\frac{3}{2}; -1\); б) −3; в) 3; г) \(-\frac{3}{2}; -5\); д) \(\frac{10}{7}; 1\); е) \(\frac{3}{7}; -\frac{1}{9}\).