668 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Задание 668. Геометрия

Условие: Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Решение:

Представим окружность с центром в точке O и диаметром AB. Пусть C — произвольная точка на окружности. Из точки C опустим перпендикуляр CD на диаметр AB, где D — основание перпендикуляра.

Доказательство:

1. В прямоугольном треугольнике ACB (угол C опирается на диаметр, значит, равен 90°) CD является высотой, проведённой к гипотенузе.
2. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, квадрат её длины равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть: \[ CD^2 = AD \cdot DB \]
3. Это означает, что длина перпендикуляра CD является средним пропорциональным между отрезками AD и DB, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Вывод: Теорема доказана.