669 Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.

Задание 669. Среднее пропорциональное

Для того чтобы построить отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков, воспользуемся геометрическим построением.

Метод построения:

1. Отложим отрезки: Пусть даны отрезки a и b. Отложим их на одной прямой так, чтобы они примыкали друг к другу. Обозначим получившийся отрезок как AC, где AB = a и BC = b.
2. Построим полу окружность: Найдем середину отрезка AC. Обозначим ее как O. Построим полу окружность с центром в точке O и радиусом, равным половине длины AC (то есть AO = OC).
3. Воздвигнем перпендикуляр: Из точки B (где соединяются отрезки a и b) построим перпендикуляр к прямой AC.
4. Найдем точку пересечения: Перпендикуляр пересечет построенную полу окружность в точке D.
5. Среднее пропорциональное: Отрезок BD будет являться средним пропорциональным для отрезков a и b. То есть, BD = √(a · b).

Геометрическое доказательство (по теореме о среднем пропорциональном):

В прямоугольном треугольнике ADC (где AC — диаметр полу окружности), высота BD, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу (AB и BC). Таким образом, BD ² = AB · BC, что и доказывает, что BD — среднее пропорциональное.

Ответ: Построенный отрезок BD является средним пропорциональным для данных отрезков AB и BC.