Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 67. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в…Фото задания

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой задачкой по геометрии. Это же из ОГЭ, так что нужно быть внимательным.

Дано:

  • Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
  • \[ \angle ABC = 134^{\circ} \]
  • \[ \angle CAD = 81^{\circ} \]

Найти:

  • \[ \angle ABD \]

Решение:

Начнем с того, что ABCD — вписанный четырёхугольник. Это значит, что сумма противоположных углов равна 180°.

  1. Находим угол ADC:
    Так как \[ \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \], то \[ \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ} \].
  2. Находим угол ACD:
    Теперь посмотрим на угол ADC. Он состоит из углов ACD и CAD:
    \[ \angle ADC = \angle ACD + \angle CAD \].
    Мы знаем \[ \angle ADC = 46^{\circ} \] и \[ \angle CAD = 81^{\circ} \].
    Тогда \[ \angle ACD = \angle ADC - \angle CAD = 46^{\circ} - 81^{\circ} = -35^{\circ} \].
    Ой, что-то тут не так. Угол не может быть отрицательным. Скорее всего, на чертеже точка D находится не так, как мы предполагаем, или угол CAD отложен от другой диагонали. Давай предположим, что на чертеже правильно показано, что угол CAD равен 81 градусу.
  3. Рассмотрим треугольник ABC:
    Сумма углов в треугольнике равна 180°. Угол ABC равен 134°, значит, сумма углов BAC и BCA равна 180° - 134° = 46°.
  4. Углы, опирающиеся на одну дугу:
    Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Это значит:
    • \[ \angle ABD = \angle ACD \] (опираются на дугу AD)
    • \[ \angle CBD = \angle CAD \] (опираются на дугу CD)
    • \[ \angle BAC = \angle BDC \] (опираются на дугу BC)
    • \[ \angle BCA = \angle BDA \] (опираются на дугу BA)
  5. Находим угол BCD:
    По аналогии с углом ADC, угол BCD будет равен:
    \[ \angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD \].
    Угол BAD состоит из углов BAC и CAD.
  6. Переосмыслим задачу:
    Давай использовать то, что \[ \angle ABC = 134^{\circ} \].
    Тогда угол ADC равен \[ \angle ADC = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ} \].
    Теперь, у нас есть \[ \angle CAD = 81^{\circ} \].
    В треугольнике ADC: \[ \angle ACD = 180^{\circ} - \angle ADC - \angle CAD = 180^{\circ} - 46^{\circ} - 81^{\circ} = 53^{\circ} \].
    Так как \[ \angle ABD = \angle ACD \] (углы, опирающиеся на дугу AD), то \[ \angle ABD = 53^{\circ} \].

Ответ: 53