67. Даны квадратные трёхчлены \(x^2-6x+11\) и \(-x^2+6x-11\). Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

Преобразуем трёхчлены, выделив полный квадрат.

1. Для первого трёхчлена:
   \[x^2-6x+11=(x^2-6x+9)+2=(x-3)^2+2.\]
   Так как \((x-3)^2\geqslant 0\), то \((x-3)^2+2\geqslant 2>0\). Следовательно, первый трёхчлен не принимает отрицательных значений.
2. Для второго трёхчлена:
   \[-x^2+6x-11=-(x^2-6x+11)=-\bigl((x-3)^2+2\bigr)=-(x-3)^2-2.\]
   Так как \(-(x-3)^2\leqslant 0\), то \(-(x-3)^2-2\leqslant -2<0\). Следовательно, второй трёхчлен не принимает положительных значений.

Ответ: первый трёхчлен всегда положителен, а второй всегда отрицателен.