67. Решите неравенства методом интервалов: а) \((x^2+x)(x-1)>0\); б) \((3x+12)(x^2-2x)<0\); в) \((6x^2+12x)(x+4)<0\); г) \((2x^2-16x)(4x+4)>0\); д) \((x^2-4)(x^2-1)>0\); е) \((x^2-25)(x^2-9)<0\); ж) \((x^2+5x)(x^2-9)<0\); з) \((x^2+3x)(x^2-16)>0\).

Разложим выражения на множители, отметим нули и выберем промежутки с нужным знаком. Все неравенства строгие, поэтому точки, в которых произведение равно нулю, не входят в ответ.

а) \((x^2+x)(x-1)=x(x+1)(x-1)\). Нули: \(-1,0,1\). Знак положителен на \((-1,0)\) и \((1,+\infty)\).

б) \((3x+12)(x^2-2x)=3(x+4)x(x-2)\). Нули: \(-4,0,2\). Знак отрицателен на \((-,-4)\) и \((0,2)\).

в) \((6x^2+12x)(x+4)=6x(x+2)(x+4)\). Нули: \(-4,-2,0\). Знак отрицателен на \((-4,-2)\) и \((0,+\infty)\)? Проверим знак: при \(x=-3\) произведение положительно, при \(x=-1\) — отрицательно, при \(x=1\) — положительно. Следовательно, решение: \((-2,0)\).

г) \((2x^2-16x)(4x+4)=8x(x-8)(x+1)\). Нули: \(-1,0,8\). Знак положителен на \((-1,0)\) и \((8,+\infty)\).

д) \((x^2-4)(x^2-1)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)\). Нули: \(-2,-1,1,2\). Знак положителен на \((-,-2)\), \((-1,1)\) и \((2,+\infty)\).

е) \((x^2-25)(x^2-9)=(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)\). Нули: \(-5,-3,3,5\). Знак отрицателен на \((-5,-3)\) и \((3,5)\).

ж) \((x^2+5x)(x^2-9)=x(x+5)(x-3)(x+3)\). Нули: \(-5,-3,0,3\). Знак отрицателен на \((-5,-3)\) и \((0,3)\).

з) \((x^2+3x)(x^2-16)=x(x+3)(x-4)(x+4)\). Нули: \(-4,-3,0,4\). Знак положителен на \((-,-4)\), \((-3,0)\) и \((4,+\infty)\).

Ответ: а) \((-1,0)\cup(1,+\infty)\); б) \((-,-4)\cup(0,2)\); в) \((-2,0)\); г) \((-1,0)\cup(8,+\infty)\); д) \((-,-2)\cup(-1,1)\cup(2,+\infty)\); е) \((-5,-3)\cup(3,5)\); ж) \((-5,-3)\cup(0,3)\); з) \((-,-4)\cup(-3,0)\cup(4,+\infty)\).