67. В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.

Для вычислений используем теорему косинусов: в треугольнике со сторонами x, y и углом θ между ними противоположная сторона удовлетворяет равенству z² = x² + y² − 2xy cos θ.

а) Рёбра основания ABC.

1. В треугольнике ADB сторона AB лежит напротив угла ADB:
   AB = √(20² + 18² − 2·20·18·cos 54°) ≈ 16,44 см.
2. В треугольнике BDC сторона BC лежит напротив угла BDC:
   BC = √(18² + 21² − 2·18·21·cos 72°) ≈ 23,02 см.
3. В треугольнике CDA угол CDA равен 90°, поэтому по теореме Пифагора:
   AC = √(20² + 21²) = √841 = 29 см.

б) Площади боковых граней.

1. S_ADB = ½·DA·DB·sin∠ADB = ½·20·18·sin 54° ≈ 145,62 см².
2. S_BDC = ½·BD·DC·sin∠BDC = ½·18·21·sin 72° ≈ 179,75 см².
3. S_CDA = ½·DC·DA·sin∠CDA = ½·21·20·sin 90° = 210 см².

Ответ: AB ≈ 16,44 см, BC ≈ 23,02 см, AC = 29 см; площади граней ADB, BDC и CDA — приблизительно 145,62 см², 179,75 см² и 210 см² соответственно.