67. В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) рёбра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.

Дано: \(DA=20\) см, \(DB=18\) см, \(DC=21\) см; \(\angle ADB=54^\circ\), \(\angle BDC=72^\circ\), \(\angle CDA=90^\circ\).

а) Найдём рёбра основания.

В треугольнике \(ADB\) по теореме косинусов:

\[AB^2=DA^2+DB^2-2\cdot DA\cdot DB\cos54^\circ.\]

\[AB=\sqrt{20^2+18^2-2\cdot20\cdot18\cos54^\circ}\approx17.34\text{ см}.\]

В треугольнике \(BDC\):

\[BC^2=DB^2+DC^2-2\cdot DB\cdot DC\cos72^\circ.\]

\[BC=\sqrt{18^2+21^2-2\cdot18\cdot21\cos72^\circ}\approx23.05\text{ см}.\]

В треугольнике \(CDA\), поскольку \(\angle CDA=90^\circ\):

\[AC=\sqrt{DC^2+DA^2}=\sqrt{21^2+20^2}=29\text{ см}.\]

б) Найдём площади боковых граней.

\[S_{ADB}=\frac12\cdot DA\cdot DB\cdot\sin54^\circ=\frac12\cdot20\cdot18\sin54^\circ\approx145.62\text{ см}^2.\]

\[S_{BDC}=\frac12\cdot DB\cdot DC\cdot\sin72^\circ=\frac12\cdot18\cdot21\sin72^\circ\approx179.65\text{ см}^2.\]

\[S_{CDA}=\frac12\cdot DC\cdot DA\cdot\sin90^\circ=\frac12\cdot21\cdot20=210\text{ см}^2.\]

Суммарная площадь боковых граней:

\[S_{\text{бок}}=145.62+179.65+210\approx535.27\text{ см}^2.\]

Ответ: а) \(AB\approx17.34\) см, \(BC\approx23.05\) см, \(CA=29\) см; б) площади боковых граней примерно \(145.62\) см², \(179.65\) см² и \(210\) см², их сумма \(S_{\text{бок}}\approx535.27\) см².