673. К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности. Решение

Привет! Давай разберем, как построить касательную к окружности из точки, которая находится вне её.

Условие:

Дана окружность с центром O и точка A, находящаяся вне этой окружности. Нужно построить касательную из точки A к окружности.

Построение:

Это классическая задача на построение, и она решается с помощью циркуля и линейки.

1. Соединим точки: Проведем отрезок OA, соединяющий центр окружности O с данной точкой A.
2. Найдем середину отрезка OA: Построим серединный перпендикуляр к отрезку OA. Для этого:
• Из точки O, как из центра, проведем дугу окружности радиусом, большим половины OA.
• Из точки A, как из центра, проведем другую дугу тем же радиусом.
• Точки пересечения этих дуг (назовем их P и Q) дадут нам прямую PQ, которая будет серединным перпендикуляром к OA.
• Точка пересечения серединного перпендикуляра PQ и отрезка OA (назовем её O₁) будет серединой отрезка OA.
3. Построим вспомогательную окружность: Из точки O₁ (середины OA) как из центра, проведем окружность радиусом O₁A (или O₁O, так как O₁ – середина OA).
4. Найдем точки касания: Эта новая окружность пересечет данную окружность в двух точках. Назовем их B и B₁.
5. Проведем касательные: Прямые AB и AB₁ будут искомыми касательными к данной окружности, проходящими через точку A.

Почему это работает? (Обоснование):

Вспомним свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, если AB – касательная, а OB – радиус, то
op\[ \angle ABO = 90^{\circ} \]

В нашей конструкции точка B лежит на окружности с центром O₁ и радиусом O₁A. Отрезок OA является диаметром этой новой окружности (потому что O₁ - середина OA, и B находится на окружности). Угол, опирающийся на диаметр окружности (например,
op\[ \angle ABO \]), всегда прямой (
op\[ 90^{\circ} \]).

Таким образом,
op\[ \angle ABO = 90^{\circ} \], что означает, что отрезок OB перпендикулярен отрезку AB. А раз OB - радиус, а AB перпендикулярно радиусу в точке B, то AB является касательной к окружности с центром O.

То же самое справедливо и для точки B₁.

Вывод:

У нас получилось построить две касательные (AB и AB₁), потому что из точки вне окружности всегда можно провести две касательные.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам.