68. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол CAD равен 74°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай решим и эту задачку. Тут тоже про вписанный четырёхугольник.

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \[ \angle ABC = 120^{\circ} \]
• \[ \angle CAD = 74^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle ABD \]

Решение:

Снова используем свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180°.

1. Находим угол ADC:
   Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, то сумма углов ABC и ADC равна 180°.
   \[ \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \].
2. Рассматриваем треугольник ADC:
   Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. В треугольнике ADC у нас есть угол ADC = 60° и угол CAD = 74°.
   Значит, угол ACD равен:
   \[ \angle ACD = 180^{\circ} - \angle ADC - \angle CAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 74^{\circ} = 46^{\circ} \].
3. Углы, опирающиеся на одну дугу:
   Теперь самое главное: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
   Угол ABD опирается на дугу AD.
   Угол ACD тоже опирается на дугу AD.
   Следовательно, \[ \angle ABD = \angle ACD \].
4. Находим угол ABD:
   Из предыдущего пункта мы нашли, что \[ \angle ACD = 46^{\circ} \].
   Значит, \[ \angle ABD = 46^{\circ} \].

Ответ: 46