68. Моторная лодка за 2 ч по течению реки проплывает такое же расстояние, как за 3 ч против течения реки. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение:

1. Пусть \( v_{л} \) — собственная скорость лодки (в км/ч), а \( v_{т} \) — скорость течения реки.
2. Скорость лодки по течению: \( v_{по \; теч} = v_{л} + v_{т} \)
3. Скорость лодки против течения: \( v_{против \; теч} = v_{л} - v_{т} \)
4. Расстояние, пройденное по течению за 2 часа: \( S_{по \; теч} = (v_{л} + v_{т}) \cdot 2 \)
5. Расстояние, пройденное против течения за 3 часа: \( S_{против \; теч} = (v_{л} - v_{т}) \cdot 3 \)
6. По условию задачи, эти расстояния равны: \( (v_{л} + v_{т}) \cdot 2 = (v_{л} - v_{т}) \cdot 3 \)
7. Подставим известное значение скорости течения реки: \( v_{т} = 3 \) км/ч.
8. \( (v_{л} + 3) \cdot 2 = (v_{л} - 3) \cdot 3 \)
9. Раскроем скобки: \( 2v_{л} + 6 = 3v_{л} - 9 \)
10. Перенесём члены с \( v_{л} \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 6 + 9 = 3v_{л} - 2v_{л} \)
11. \( 15 = v_{л} \)

Ответ: собственная скорость лодки равна 15 км/ч.