№ 68. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

1. По двум сторонам и углу между ними треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Поэтому BC = B₁C₁ и ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
2. Вычтем равные отрезки AP и A₁P₁ из равных отрезков AB и A₁B₁: BP = AB − AP = A₁B₁ − A₁P₁ = B₁P₁.
3. Так как P лежит на AB, а P₁ — на A₁B₁, углы ∠PBC и ∠P₁B₁C₁ равны соответственно углам ∠ABC и ∠A₁B₁C₁. Значит, ∠PBC = ∠P₁B₁C₁.
4. В треугольниках BPC и B₁P₁C₁ равны две стороны: BP = B₁P₁ и BC = B₁C₁, а также угол между ними. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: △BPC = △B₁P₁C₁.