68. Вычислите: а) $C_{10}^{3}+C_{9}^{3}$; б) $C_{11}^{2}+C_{9}^{3}$; в) $C_{15}^{11}-C_{16}^{14}$; г) $\dfrac{C_{7}^{4}+C_{7}^{3}}{C_{7}^{4}}$; д) $\dfrac{C_{12}^{4}-C_{12}^{8}}{C_{13}^{7}}$; е) $\dfrac{C_{11}^{5}+C_{11}^{6}}{C_{13}^{7}+C_{13}^{6}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 68. Вычислите: а) $C_{10}^{3}+C_{9}^{3}$; б) $C_{11}^{2}+C_{9}^{3}$; в) $C_{15}^{11}-C_{16}^{14}$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулу сочетаний: $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$, а также свойство симметрии $C_n^k=C_n^{n-k}$.

а) $C_{10}^{3}+C_{9}^{3}=120+84=204$.
б) $C_{11}^{2}+C_{9}^{3}=55+84=139$.
в) По свойству симметрии: $C_{15}^{11}=C_{15}^{4}=1365$, $C_{16}^{14}=C_{16}^{2}=120$. Тогда $1365-120=1245$.
г) $C_{7}^{4}=35$, $C_{7}^{3}=35$. Поэтому $\dfrac{C_{7}^{4}+C_{7}^{3}}{C_{7}^{4}}=\dfrac{35+35}{35}=2$.
д) $C_{12}^{8}=C_{12}^{4}=495$, поэтому числитель равен нулю: $\dfrac{C_{12}^{4}-C_{12}^{8}}{C_{13}^{7}}=0$.
е) $C_{11}^{5}=C_{11}^{6}=462$, а $C_{13}^{7}=C_{13}^{6}=1716$. Следовательно, $\dfrac{C_{11}^{5}+C_{11}^{6}}{C_{13}^{7}+C_{13}^{6}}=\dfrac{924}{3432}=\dfrac{7}{26}$.

Ответ: а) 204; б) 139; в) 1245; г) 2; д) 0; е) $\dfrac{7}{26}$.

68. Вычислите: а) \(C_{10}^{3}+C_{9}^{3}\); б) \(C_{11}^{2}+C_{9}^{3}\); в) \(C_{15}^{11}-C_{16}^{14}\); г) \(\dfrac{C_{7}^{4}+C_{7}^{3}}{C_{7}^{4}}\); д) \(\dfrac{C_{12}^{4}-C_{12}^{8}}{C_{13}^{7}}\); е) \(\dfrac{C_{11}^{5}+C_{11}^{6}}{C_{13}^{7}+C_{13}^{6}}\).