680 Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треуголь-ника АВС пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) ∠A = ∠B + ∠C.

Решение:

• Пункты: 680 а), б)
• a) Доказательство того, что точка D — середина стороны BC:
  • Так как точка D является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB и AC, то она равноудалена от вершин A, B и C.
  • Следовательно, DA = DB (точка D лежит на серединном перпендикуляре к AB).
  • И DA = DC (точка D лежит на серединном перпендикуляре к AC).
  • Из этого следует, что DB = DC.
  • По определению, точка, равноудаленная от концов отрезка BC, является серединой этого отрезка.
  • Таким образом, точка D является серединой стороны BC.
• б) Доказательство равенства ∠A = ∠B + ∠C:
  • Из того, что DB = DC, следует, что треугольник DBC равнобедренный.
  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠DBC = ∠DCB. Обозначим эти углы как β.
  • Таким образом, ∠B = ∠C = β.
  • Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
  • Подставляем ∠B = β и ∠C = β: ∠A + β + β = 180°, или ∠A + 2β = 180°.
  • Рассмотрим треугольник ABD. DA = DB, следовательно, треугольник ABD равнобедренный. Углы при основании равны: ∠BAD = ∠ABD = β.
  • Рассмотрим треугольник ACD. DA = DC, следовательно, треугольник ACD равнобедренный. Углы при основании равны: ∠CAD = ∠ACD = β.
  • Сумма углов ∠BAD и ∠CAD равна ∠A: ∠A = ∠BAD + ∠CAD.
  • Так как ∠BAD = β и ∠CAD = β, то ∠A = β + β = 2β.
  • Мы получили, что ∠A = 2β и ∠B + ∠C = β + β = 2β.
  • Следовательно, ∠A = ∠B + ∠C.

Ответ: Доказано.