682 Равнобедренные треугольники АВС и АBD имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ.

Доказательство:

1. Дано: Треугольники ABC и ABD равнобедренные, AB — общее основание.
2. Доказать: Прямая CD проходит через середину от отрезка AB.
3. Доказательство:
   • Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то AC = BC.
   • Так как треугольник ABD равнобедренный с основанием AB, то AD = BD.
   • Рассмотрим треугольники ACD и BCD. У них стороны AC = BC (по условию), AD = BD (по условию), а сторона CD — общая.
   • Следовательно, треугольники ACD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
   • Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: ∠ ACD = ∠ BCD.
   • Рассмотрим треугольники AMC и BMC, где M — точка пересечения CD и AB.
   • У них стороны AC = BC (по условию), ∠ ACD = ∠ BCD (доказано выше), ∠ CAM = ∠ CBM (так как треугольники ABC и ABD равнобедренные, и углы при основании равны).
   • Следовательно, треугольники AMC и BMC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
   • Из равенства треугольников AMC и BMC следует, что AM = BM.
   • Это означает, что точка M является серединой отрезка AB.
   • Так как M лежит на прямой CD, то прямая CD проходит через середину отрезка AB.

Что и требовалось доказать.