682 Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.

Дано:

• \[ h \] — высота, проведенная к гипотенузе.
• \[ p, q \] — отрезки, на которые высота делит гипотенузу.
• \[ p - q = 11 \text{ см} \]
• \[ a, b \] — катеты.
• \[ a : b = 6 : 5 \]

Найти:

• \[ c \] — гипотенузу.

Решение:

1. Обозначим катеты:
• Пусть\[ a = 6x \text{ см} \]
• Пусть\[ b = 5x \text{ см} \]
2. Используем свойство высоты прямоугольного треугольника:
• \[ h^2 = p  q \]
• \[ a^2 = c  p \]
• \[ b^2 = c  q \]
3. Выразим отрезки гипотенузы через катеты:
• \[ p = \frac{a^2}{c} = \frac{(6x)^2}{c} = \frac{36x^2}{c} \]
• \[ q = \frac{b^2}{c} = \frac{(5x)^2}{c} = \frac{25x^2}{c} \]
4. Найдем гипотенузу c по теореме Пифагора:
• \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
• \[ c^2 = (6x)^2 + (5x)^2 \]
• \[ c^2 = 36x^2 + 25x^2 \]
• \[ c^2 = 61x^2 \]
• \[ c = \sqrt{61x^2} = x\sqrt{61} \text{ см} \]
5. Используем условие о разнице отрезков:
• \[ p - q = 11 \text{ см} \]
• \[ \frac{36x^2}{c} - \frac{25x^2}{c} = 11 \]
• \[ \frac{11x^2}{c} = 11 \]
• \[ x^2 = c \]
6. Подставим значение c из шага 4:
• \[ x^2 = x\sqrt{61} \]
• Так как\[ x \] — длина, то\[ x
  eq 0 \]. Разделим обе части на\[ x \]:
• \[ x = \sqrt{61} \text{ см} \]
7. Найдем гипотенузу:
• \[ c = x\sqrt{61} \]
• \[ c = \sqrt{61}  \sqrt{61} \]
• \[ c = 61 \text{ см} \]

Ответ: 61 см