683. Найдите все целые решения уравнения: a) xy = 2; б) x² – y² = 3.

Пошаговое решение:

Задание 683

• а) xy = 2

Чтобы найти все целые решения уравнения xy = 2, нужно найти пары целых чисел, произведение которых равно 2. Возможные пары множителей для числа 2:

• 1 и 2
• 2 и 1
• -1 и -2
• -2 и -1

Таким образом, целые решения уравнения (x; y) следующие:

• (1; 2)
• (2; 1)
• (-1; -2)
• (-2; -1)

• б) x² – y² = 3

Это уравнение можно представить как разность квадратов:

\[ (x - y)(x + y) = 3 \]

Теперь нам нужно найти пары целых множителей для числа 3. Возможные пары множителей для числа 3:

• 1 и 3
• 3 и 1
• -1 и -3
• -3 и -1

Приравниваем множители к соответствующим выражениям:

1. Случай 1:
   \( x - y = 1 \)
   \( x + y = 3 \]
   Сложив эти два уравнения, получим: \( 2x = 4 \), откуда \( x = 2 \). Подставив \( x=2 \) в первое уравнение: \( 2 - y = 1 \), откуда \( y = 1 \). Решение: (2; 1).
2. Случай 2:
   \( x - y = 3 \)
   \( x + y = 1 \]
   Сложив уравнения: \( 2x = 4 \), откуда \( x = 2 \). Подставив \( x=2 \) во второе уравнение: \( 2 + y = 1 \), откуда \( y = -1 \). Решение: (2; -1).
3. Случай 3:
   \( x - y = -1 \)
   \( x + y = -3 \]
   Сложив уравнения: \( 2x = -4 \), откуда \( x = -2 \). Подставив \( x=-2 \) в первое уравнение: \( -2 - y = -1 \), откуда \( y = -1 \). Решение: (-2; -1).
4. Случай 4:
   \( x - y = -3 \)
   \( x + y = -1 \]
   Сложив уравнения: \( 2x = -4 \), откуда \( x = -2 \). Подставив \( x=-2 \) во второе уравнение: \( -2 + y = -1 \), откуда \( y = 1 \). Решение: (-2; 1).

Таким образом, целые решения уравнения x² – y² = 3 следующие:

• (2; 1)
• (2; -1)
• (-2; -1)
• (-2; 1)