688. РЁБРА, ГРАНИ И ВЕРШИНЫ. На рисунке 10.19 изображён прямоугольный параллелепипед. Известны длины его рёбер: AB = 6 см, ML = 4 см, AM = 2 см. 1) Определите длины всех рёбер данного прямоугольного параллелепипеда. 2) Каковы размеры граней AMNB, BNKC, MLKN? Назовите равные им грани. 3) Определите периметр грани ABCD. 4) Начертите грань CDLK в натуральную величину. 5) Три грани прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину М, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными? синими? Назовите общую вершину всех синих граней.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. 1. Длины всех рёбер:
   У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер, которые можно сгруппировать попарно по длине.
   
   • Рёбра, равные AB: AB, CD, KN, ML. Их длина — 6 см.
   • Рёбра, равные AM: AM, BN, CK, DL. Их длина — 2 см.
   • Рёбра, равные ML: ML, KN, AB, CD. Так как ML = 4 см, то длина рёбер, параллельных ML, равна 4 см. В рисунке указано, что ML = 4 см, а AB = 6 см. Из рисунка видно, что ML и AB — это рёбра, идущие вдоль разных измерений. Если AB = 6 см, то рёбра, параллельные ему, будут иметь длину 6 см. Если ML = 4 см, то рёбра, параллельные ему, будут иметь длину 4 см. AM = 2 см.
   • Исходя из рисунка и обозначений:
   • Рёбра, равные ML (длина) = 4 см: ML, KN, AB, CD. (ошибка в условии, AB и ML должны быть разными измерениями, но на рисунке ML и AB соприкасаются, что нелогично. Будем исходить из того, что ML, AB и AM — это длины рёбер, исходящих из одной вершины, либо заданные как размеры граней).
   • Уточним по рисунку 10.19:
     Длины рёбер, исходящих из вершины L: LM (4 см), LD (2 см), LK (6 см).
     Значит, рёбра имеют следующие длины:
     
     • 4 см: LM, KN, AB, CD
     • 2 см: LD, AM, BN, CK
     • 6 см: LK, NM, BA, DC (здесь AB и BA — это одно и то же ребро).
     • Правильное сопоставление измерений:
       Длина = 6 см (например, AB, CD, KL, MN)
     • Ширина = 4 см (например, BC, AD, KN, ML)
     • Высота = 2 см (например, AK, BL, CN, DM)
     • Исходя из условия: AB = 6 см, ML = 4 см, AM = 2 см.
       В прямоугольном параллелепипеде три измерения: длина, ширина, высота.
       Пусть:
       
       • Длина (AB) = 6 см. Тогда CD = 6 см, KL = 6 см, MN = 6 см.
       • Ширина (ML) = 4 см. Тогда KN = 4 см, BC = 4 см, AD = 4 см.
       • Высота (AM) = 2 см. Тогда BK = 2 см, CN = 2 см, DL = 2 см.
     • Таким образом, длины всех рёбер: 4 по 6 см, 4 по 4 см, 4 по 2 см.
2. 2. Размеры граней и равные им грани:
   Грани прямоугольного параллелепипеда — это прямоугольники.
   
   • Грань AMNB: Рёбра AM и AB. Размеры: 2 см × 6 см.
   • Грань BNKC: Рёбра BN и BK (BK равно AM). Размеры: 2 см × 6 см.
   • Грань MLKN: Рёбра ML и LK (LK равно AB). Размеры: 4 см × 6 см.
   • Равные грани:
     
     • Грань AMNB равна грани DCLC (если бы она была показана) и граням, образованным соответствующими рёбрами. В данном случае, грань AMNB равна грани DLCC' (где C' — точка над C, если бы это был куб, но это параллелепипед). На рисунке, AMNB является одной из боковых граней. Параллельная ей грань — DLMC. Размеры AMNB = 2 см × 6 см. Параллельная ей грань DLMC = 2 см × 6 см.
     • Грань BNKC (2 см × 6 см) равна грани ALMD (2 см × 6 см).
     • Грань MLKN (4 см × 6 см) равна грани ABCD (4 см × 6 см).
   • Ответ:
     
     • Грань AMNB: 2 см × 6 см. Равна грани DLMC.
     • Грань BNKC: 2 см × 6 см. Равна грани ALMD.
     • Грань MLKN: 4 см × 6 см. Равна грани ABCD.
3. 3. Периметр грани ABCD:
   Грань ABCD — это прямоугольник с рёбрами AB и BC. По условию AB = 6 см. По нашим выводам, BC = 4 см (так как ML = 4 см и ML параллельна BC).
   Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: P = 2 * (длина + ширина).
   P_{ABCD} = 2 * (AB + BC) = 2 * (6 см + 4 см) = 2 * 10 см = 20 см.
4. 4. Начертите грань CDLK в натуральную величину:
   Грань CDLK — это прямоугольник. Рёбра CD и DL.
   По условию AB = 6 см. Так как ABCD — грань, то CD = AB = 6 см.
   По нашим выводам AM = 2 см. Так как ABCDMLKN — прямоугольный параллелепипед, то DL = AM = 2 см.
   Размеры грани CDLK: 6 см × 2 см.
5. 5. Окраска граней:
   Три грани, имеющие общую вершину М, хотят окрасить в красный цвет. Остальные — в синий.
   Общая вершина: M.
   Из вершины М выходят три ребра: ML, MN, MK. Эти рёбра принадлежат трём граням, которые пересекаются в точке М.
   
   • Грань MLKN (размеры 4 см × 6 см)
   • Грань MLC (ребро MC не указано, но если M — вершина, то грани, исходящие из неё: MLKN, M L D A, M N C B).
   • Используем обозначения из рисунка:
     Вершина M. Из неё выходят рёбра, образующие грани: ML, MN, MK. (На рисунке M — вершина, из неё идут ML, MN, MA. Но AM = 2 см, а ML = 4 см. AB = 6 см. На рисунке обозначены вершины A, B, C, D, K, L, M, N. Если M — вершина, то грани, выходящие из неё, это MLKN, AMNB, и грань, образованная ребром MC (если это возможно, но M и C не соединены ребром напрямую, а через B и N).
   • Давайте предположим, что M — это вершина, из которой выходят рёбра ML, MN, MA (как показано на рисунке, где M, L, N, A — это вершины).
     Если M — одна из вершин, например, нижнего основания, тогда рёбра, исходящие из неё: ML, MN, MA (по рисунку).
     Тогда грани, имеющие общую вершину M:
     • Грань MLKN (4 см × 6 см)
     • Грань AMNB (2 см × 6 см)
     • Грань ALMD (2 см × 4 см)
   • Эти три грани будут красными.
   • Остальные грани будут синими.
     Всего 6 граней. Три красные, три синие.
   • Остальные грани (синие):
     
     • Грань BNKC (2 см × 6 см)
     • Грань CDLK (6 см × 2 см)
     • Грань BCDA (6 см × 4 см)
   • Общая вершина всех синих граней:
     
     • Грань BNKC имеет вершины B, N, K, C.
     • Грань CDLK имеет вершины C, D, L, K.
     • Грань BCDA имеет вершины B, C, D, A.
   • Общая вершина для всех трёх синих граней — C.