69. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это означает, что все его вершины лежат на окружности.

1. Свойство вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов равна 180°. Следовательно, \( \angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 70° = 110° \).
2. Углы, опирающиеся на одну дугу: Углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на дугу AD. Поэтому \( \angle ABD = \angle ACD \).
3. Углы, опирающиеся на одну дугу: Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на дугу CD. Поэтому \( \angle CBD = \angle CAD = 49° \).
4. Нахождение \( \angle ABD \): В треугольнике ABC, \( \angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle BCA \). Этот путь сложен.
5. Используем другое свойство: Угол \( \angle BCD \) и \( \angle BAD \) — противоположные углы вписанного четырёхугольника. \( \angle BCD = 180° - \angle BAD \).
6. Найдем \( \angle BAC \): Угол \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на дугу BC.
7. Рассмотрим \( \angle ABC = 70° \): \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \).
8. Мы знаем \( \angle CBD = 49° \).
9. Тогда \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 70° - 49° = 21° \).

Ответ: 21°.