69. Два автомобиля равномерно и прямолинейно движутся к перекрестку по взаимно перпендикулярным улицам со скоростями, модули которых \(v_1=12\ \text{м/с}\) и \(v_2=14\ \text{м/с}\). В начальный момент времени первый автомобиль находился от перекрестка на расстоянии \(l_1=255\ \text{м}\), а второй — на расстоянии \(l_2=170\ \text{м}\). Через сколько времени расстояние между автомобилями будет таким же, как и в начальный момент времени?

Дано: \(v_1=12\ \text{м/с}\), \(v_2=14\ \text{м/с}\), \(l_1=255\ \text{м}\), \(l_2=170\ \text{м}\).

Улицы перпендикулярны, поэтому начальное расстояние между автомобилями:

\[d_0=\sqrt{l_1^2+l_2^2}=\sqrt{255^2+170^2}=\sqrt{65025+28900}=\sqrt{93925}=5\sqrt{3757}\ \text{м}.\]

Через время \(t\) расстояния автомобилей от перекрёстка равны \(l_1-v_1t\) и \(l_2-v_2t\). Поэтому:

\[d^2(t)=(255-12t)^2+(170-14t)^2.\]

Требуется, чтобы \(d(t)=d_0\), следовательно:

\[(255-12t)^2+(170-14t)^2=255^2+170^2.\]

Раскрываем скобки:

\[93925-12240t-4760t+340t^2=93925,\]

\[340t^2-17000t=0,\]

\[340t(t-50)=0.\]

Корень \(t=0\) соответствует начальному моменту, поэтому искомое время:

Ответ: \(t=50\ \text{с}\).