69. Найдите неизвестные стороны треугольника, воспользовавшись данными на рисунке: а) в треугольнике MKT: MK = 20, ∠M = 45°, ∠T = 60°; найдите MT и KT. б) в треугольнике MKT: MK = 8, ∠M = 45°, ∠T = 30°; найдите MT и KT.

По теореме синусов для обоих треугольников: \(\frac{MK}{\sin T}=\frac{MT}{\sin K}=\frac{KT}{\sin M}\). Сначала найдём третий угол по сумме углов треугольника.

а) \(\angle K=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\).

\(\frac{20}{\sin 60^\circ}=\frac{MT}{\sin 75^\circ}=\frac{KT}{\sin 45^\circ}\).

\(MT=\frac{20\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}=\frac{10(\sqrt6+\sqrt2)}{\sqrt3}\approx22.31\).

\(KT=\frac{20\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}=\frac{20\sqrt6}{3}\approx16.33\).

б) \(\angle K=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).

\(\frac{8}{\sin 30^\circ}=\frac{MT}{\sin 105^\circ}=\frac{KT}{\sin 45^\circ}\).

\(MT=\frac{8\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}=4(\sqrt6+\sqrt2)\approx15.45\).

\(KT=\frac{8\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=8\sqrt2\approx11.31\).

Ответ: а) \(MT=\frac{10(\sqrt6+\sqrt2)}{\sqrt3}\), \(KT=\frac{20\sqrt6}{3}\); б) \(MT=4(\sqrt6+\sqrt2)\), \(KT=8\sqrt2\).