692. Упростите выражения: 1) $\frac{a^{-5/4}-a^{-2}}{a^{-1\frac34}-a^{-2}}-\frac{a^{-1/2}-a^{-1,5}}{a^{-1}-a^{-1,5}}$; 2) $(a^{1/3}-x^{1/3})^{-1}\cdot(a-x)$; 3) $\frac{m+n}{m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}+\frac{m-n}{m^{2/3}+m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}-\frac{m^{2/3}-n^{2/3}}{m^{1/3}-n^{2/3}}$; 4) $\frac{(x-y)^2}{x^{3/2}-y^{3/2}}+\frac{x^2-y^2}{(x^{1/2}+y^{1/2})(x+x^{1/2}y^{1/2}+y)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 692. Упростите выражения: 1) $\frac{a^{-5/4}-a^{-2}}{a^{-1\frac34}-a^{-2}}-\frac{a^{-1/2}-a^{-1,5}}{a^{-1}-a^{-1,5}}$; 2)…$ Фото задания

692. Упростите выражения: 1) $\frac{a^{-5/4}-a^{-2}}{a^{-1\frac34}-a^{-2}}-\frac{a^{-1/2}-a^{-1,5}}{a^{-1}-a^{-1,5}}$; 2) $(a^{1/3}-x^{1/3})^{-1}\cdot(a-x)$; 3) $\frac{m+n}{m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}+\frac{m-n}{m^{2/3}+m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}-\frac{m^{2/3}-n^{2/3}}{m^{1/3}-n^{2/3}}$; 4) $\frac{(x-y)^2}{x^{3/2}-y^{3/2}}+\frac{x^2-y^2}{(x^{1/2}+y^{1/2})(x+x^{1/2}y^{1/2}+y)}$.

Accepted Answer

В первой дроби вынесем степени $a$:
$\frac{a^{-5/4}-a^{-2}}{a^{-7/4}-a^{-2}}=\frac{a^{3/4}-1}{a^{1/4}-1}=a^{1/2}+a^{1/4}+1$.
Во второй дроби:
$\frac{a^{-1/2}-a^{-3/2}}{a^{-1}-a^{-3/2}}=\frac{a-1}{\sqrt a-1}=\sqrt a+1$.
Вычитаем: $a^{1/2}+a^{1/4}+1-(a^{1/2}+1)=a^{1/4}$.
Положим $u=\sqrt[3]{a}$, $v=\sqrt[3]{x}$. Тогда $a-x=u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$, а $(a^{1/3}-x^{1/3})^{-1}=1/(u-v)$. Сокращая общий множитель, получаем $u^2+uv+v^2$.
Положим $u=\sqrt[3]{m}$, $v=\sqrt[3]{n}$. По формулам суммы и разности кубов первые две дроби равны соответственно $u+v$ и $u-v$. Их сумма равна $2u=2m^{1/3}$. Последнюю дробь переписываем через степени:
$\frac{m^{2/3}-n^{2/3}}{m^{1/3}-n^{2/3}}$.
Следовательно, результат при данном знаменателе последней дроби:
$2m^{1/3}-\frac{m^{2/3}-n^{2/3}}{m^{1/3}-n^{2/3}}$.
Положим $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{y}$. Тогда $x^{3/2}-y^{3/2}=(u-v)(u^2+uv+v^2)$, и первая дробь равна $\frac{(u-v)(u+v)^2}{u^2+uv+v^2}$.
Во второй дроби знаменатель равен $(u+v)(u^2+uv+v^2)$, а числитель — $(u-v)(u+v)(u^2+v^2)$. Значит, вторая дробь равна $\frac{u^2+v^2}{u^2+uv+v^2}$.
Складывая и возвращаясь к $x,y$, получаем:
$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2+x+y}{x+\sqrt{xy}+y}$.

Ответ: 1) $a^{1/4}$; 2) $a^{2/3}+a^{1/3}x^{1/3}+x^{2/3}$; 3) $2m^{1/3}-\frac{m^{2/3}-n^{2/3}}{m^{1/3}-n^{2/3}}$; 4) $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2+x+y}{x+\sqrt{xy}+y}$.