6cos^2 x + 5sin x - 7 = 0

Решение:

Данное уравнение содержит и косинус, и синус. Чтобы решить его, приведём к одной тригонометрической функции, используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), откуда \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

1. Подставим \( \cos^2 x \) в уравнение:
   \( 6(1 - \sin^2 x) + 5 \sin x - 7 = 0 \)
2. Раскроем скобки:
   \( 6 - 6 \sin^2 x + 5 \sin x - 7 = 0 \)
3. Приведём подобные слагаемые:
   \( -6 \sin^2 x + 5 \sin x - 1 = 0 \)
4. Умножим на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным:
   \( 6 \sin^2 x - 5 \sin x + 1 = 0 \)
5. Введём замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение относительно \( t \):
   \( 6t^2 - 5t + 1 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \)
7. Найдем корни \( t \):
   \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
   \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
8. Теперь вернёмся к замене \( t = \sin x \) и решим два простейших тригонометрических уравнения:
   1) \( \sin x = \frac{1}{2} \)
   Частные случаи:
   \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
   \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
   2) \( \sin x = \frac{1}{3} \)
   Частные случаи:
   \( x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \)
   \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi p \), где \( p \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi m \), \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi p \), где \( k, n, m, p \in \mathbb{Z} \).