+6x²+9x В3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: у=х³ +6х 82 16

Решение:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти её производную и определить знаки этой производной.

1. Найдем производную функции \( y = x^3 + 6x^2 + 9x \):
   
   \[ y' = \left( x^3 + 6x^2 + 9x \right)' = 3x^2 + 12x + 9 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   
   \[ 3x^2 + 12x + 9 = 0 \]
   Разделим обе части на 3:
   \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
   Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
   Корни уравнения:
   \[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \]
   \[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]
3. Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = -1 \). Эти точки делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, -1) \) и \( (-1, +\infty) \).
4. Определим знак производной на каждом интервале:
   
   • При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( y'(-4) = 3(-4)^2 + 12(-4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( -3 < x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( y'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > -1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках \( (-\infty, -3] \) и \( [-1, +\infty) \). Функция убывает на промежутке \( [-3, -1] \).