7.15. Найти дифференциал функции dy y = (1+ tg x)^8

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции \( y = (1 + \text{tg } x)^{8} \). Используем правило цепочки: \( y' = 8(1 + \text{tg } x)^{7} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \text{tg } x) \).
2. Шаг 2: Вычисляем производную от \( 1 + \text{tg } x \): \( \frac{d}{dx}(1 + \text{tg } x) = \sec^{2} x \).
3. Шаг 3: Объединяем результаты: \( y' = 8(1 + \text{tg } x)^{7} \cdot \sec^{2} x \).
4. Шаг 4: Находим дифференциал \( dy \): \( dy = y' dx \).
   \( dy = 8(1 + \text{tg } x)^{7} \sec^{2} x dx \).

Ответ: \( dy = 8(1 + \text{tg } x)^{7} \sec^{2} x dx \)