7. 2 sin^2(3π/2 + x) = √3 cos x

Решение:

Воспользуемся формулой приведения для синуса:

• \( \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos(x) \)

Подставим это в исходное уравнение:

• \( 2(-\cos(x))^2 = \sqrt{3} \cos(x) \)
• \( 2\cos^2(x) = \sqrt{3} \cos(x) \)

Перенесём всё в одну сторону:

• \( 2\cos^2(x) - \sqrt{3} \cos(x) = 0 \)

Вынесем \( \cos(x) \) за скобки:

• \( \cos(x) (2\cos(x) - \sqrt{3}) = 0 \)

Отсюда получаем два случая:

1. \( \cos(x) = 0 \)
• \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.
2. \( 2\cos(x) - \sqrt{3} = 0 \)
• \( 2\cos(x) = \sqrt{3} \)
• \( \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) или \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.