7(4) Найдите область определения выражения \(\sqrt{10+3x-x^2}\)

Решение:

Область определения выражения с квадратным корнем находится, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Нам нужно решить неравенство: \( 10 + 3x - x^2 ≥ 0 \).

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:

\( x^2 - 3x - 10 ≤ 0 \).

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 10 = 0 \).

Используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \]

Находим корни:

\[ x_1 = \frac{-(-3) + √{49}}{2(1)} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-(-3) - √{49}}{2(1)} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Парабола \( y = x^2 - 3x - 10 \) ветвями направлена вверх. Неравенство \( x^2 - 3x - 10 ≤ 0 \) выполняется между корнями, включая сами корни.

Таким образом, \( -2 ≤ x ≤ 5 \).

Ответ: \( [-2; 5] \).