7.40*. Расстояние между поездами, идущими в одном направлении, равно 100 км. Через 5 ч расстояние между поездами стало равным 75 км. Известно, что скорость поезда, который движется сзади, равна 85 км/ч. Чему равна скорость первого поезда?

Решение:

Обозначим скорость первого поезда как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго поезда (который сзади) как \( v_2 \) км/ч.

Из условия известно, что \( v_2 = 85 \) км/ч.

Начальное расстояние между поездами \( S_1 = 100 \) км.

Через 5 часов расстояние стало \( S_2 = 75 \) км. Это означает, что второй поезд приблизился к первому.

За 5 часов второй поезд проехал большее расстояние, чем первый. Разница в пройденных расстояниях равна разнице в начальном и конечном расстоянии между поездами.

Изменение расстояния за 5 часов: \( \Delta S = S_1 - S_2 = 100 \text{ км} - 75 \text{ км} = 25 \text{ км} \).

Это изменение расстояния произошло за счёт разницы скоростей между поездами. Разница скоростей равна \( v_2 - v_1 \) (так как второй поезд догоняет первый).

Расстояние, на которое второй поезд сократил разрыв, равно разнице пройденных расстояний за 5 часов. Пусть \( d_1 \) — расстояние, пройденное первым поездом за 5 часов, и \( d_2 \) — расстояние, пройденное вторым поездом за 5 часов.

\( d_1 = v_1 \cdot 5 \)

\( d_2 = v_2 \cdot 5 = 85 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 425 \text{ км} \)

Разница в расстояниях: \( d_2 - d_1 = 425 - 5v_1 \).

Эта разница в пройденных расстояниях также равна разнице между начальным и конечным расстоянием: \( d_2 - d_1 = 100 - 75 = 25 \) км.

Таким образом, \( 425 - 5v_1 = 25 \).

Решим это уравнение относительно \( v_1 \):

\( 5v_1 = 425 - 25 \)

\( 5v_1 = 400 \)

\( v_1 = \frac{400}{5} \)

\( v_1 = 80 \text{ км/ч} \)

Проверка:

Скорость первого поезда \( v_1 = 80 \) км/ч.

Скорость второго поезда \( v_2 = 85 \) км/ч.

За 5 часов первый поезд проехал: \( 80 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 400 \text{ км} \).

За 5 часов второй поезд проехал: \( 85 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 425 \text{ км} \).

Начальное расстояние было 100 км. Второй поезд догнал первый. Расстояние между ними стало: \( 100 \text{ км} + 400 \text{ км} - 425 \text{ км} = 100 - 25 = 75 \text{ км} \).

Результат совпадает с условием.

Ответ: Скорость первого поезда равна 80 км/ч.