7^6 \(\cdot\) 22^3 \(\cdot\) (2^5)^2 \(\cdot\) (11^{10}:11^8) \(\cdot\) 28^4 / (14^3 \(\cdot\) (8/11)^4 \(\cdot\) 44^3 \(\cdot\) 77^6) - 5 \(\cdot\) 3^0

Привет! Давай разберемся с этим примером по шагам. Он выглядит страшно, но на самом деле все довольно просто, если действовать по правилам математики.

Пример:

• \[ \frac{7^6 \cdot 22^3 \cdot (2^5)^2 \cdot (11^{10}:11^8) \cdot 28^4}{14^3 \cdot \left(\frac{8}{11}\right)^4 \cdot 44^3 \cdot 77^6} - 5 \cdot 3^0 \]

Шаг 1: Упрощаем выражения в скобках и используем свойства степеней.

Сначала разберем числитель:

• \[ (2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10} \]
• \[ 11^{10}:11^8 = 11^{10-8} = 11^2 \]

Теперь разберем знаменатель:

• \[ \left(\frac{8}{11}\right)^4 = \frac{8^4}{11^4} \]

Выражение приобретает вид:

• \[ \frac{7^6 \cdot 22^3 \cdot 2^{10} \cdot 11^2 \cdot 28^4}{14^3 \cdot \frac{8^4}{11^4} \cdot 44^3 \cdot 77^6} - 5 \cdot 3^0 \]

Шаг 2: Разлагаем числа на простые множители.

Это поможет нам привести все к общим основаниям степеней.

• \[ 22 = 2 \cdot 11 \]
• \[ 28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 \]
• \[ 14 = 2 \cdot 7 \]
• \[ 8 = 2^3 \]
• \[ 44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11 \]
• \[ 77 = 7 \cdot 11 \]

Подставляем разложения в наше выражение:

• \[ \frac{7^6 \cdot (2 \cdot 11)^3 \cdot 2^{10} \cdot 11^2 \cdot (2^2 \cdot 7)^4}{(2 \cdot 7)^3 \cdot \frac{(2^3)^4}{11^4} \cdot (2^2 \cdot 11)^3 \cdot (7 \cdot 11)^6} - 5 \cdot 3^0 \]

Шаг 3: Раскрываем степени и собираем подобные основания.

• Числитель:
• \[ 7^6 \cdot 2^3 \cdot 11^3 \cdot 2^{10} \cdot 11^2 \cdot (2^8 \cdot 7^4) = 7^{6+4} \cdot 2^{3+10+8} \cdot 11^{3+2} = 7^{10} \cdot 2^{21} \cdot 11^5 \]
• Знаменатель:
• \[ (2^3 \cdot 7^3) \cdot \frac{2^{12}}{11^4} \cdot (2^6 \cdot 11^3) \cdot (7^6 \cdot 11^6) = 2^{3+12+6} \cdot 7^{3+6} \cdot 11^{3+6} \cdot \frac{1}{11^4} = 2^{21} \cdot 7^9 \cdot 11^9 \cdot 11^{-4} = 2^{21} \cdot 7^9 \cdot 11^5 \]

Теперь дробь выглядит так:

• \[ \frac{7^{10} \cdot 2^{21} \cdot 11^5}{2^{21} \cdot 7^9 \cdot 11^5} - 5 \cdot 3^0 \]

Шаг 4: Сокращаем дробь.

Большинство степеней взаимно уничтожаются:

• \[ \frac{7^{10}}{7^9} = 7^{10-9} = 7^1 = 7 \]
• \[ \frac{2^{21}}{2^{21}} = 1 \]
• \[ \frac{11^5}{11^5} = 1 \]

Дробная часть равна просто 7.

Шаг 5: Вычисляем вторую часть примера.

Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1:

• \[ 3^0 = 1 \]

Тогда вторая часть выражения:

• \[ 5 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5 \]

Шаг 6: Выполняем вычитание.

Теперь просто вычитаем:

• \[ 7 - 5 = 2 \]

Ответ: 2