7.8. Решите уравнения: а) sin(x/2 − π/6) + 1 = 0; б) tg(π + x/3) − 1 = 0; д) cos(x/3 + π/4) − 1 = 0; в) ctg(π/3 − 4x) = √3.

а) Обозначим аргумент синуса через \(u=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\). Из \(\sin u=-1\) получаем \(u=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\). Тогда \(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\), откуда \(x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k\).

б) Используем периодичность тангенса: \( g(\pi+\frac{x}{3})= g\frac{x}{3}\). Поэтому \( g\frac{x}{3}=1\), то есть \(\frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}+\pi k\). Следовательно, \(x=\frac{3\pi}{4}+3\pi k\).

д) Из \(\cos(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4})=1\) следует \(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}=2\pi k\). Значит, \(x=-\frac{3\pi}{4}+6\pi k\).

в) \(\ctg(\frac{\pi}{3}-4x)=\sqrt{3}=\ctg\frac{\pi}{6}\). Следовательно, \(\frac{\pi}{3}-4x=\frac{\pi}{6}+\pi k\), откуда \(x=\frac{\pi}{24}-\frac{\pi k}{4}\). Переобозначив целое число \(-k\) через \(k\), получаем \(x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{4}\).

Во всех пунктах \(k\in\mathbb{Z}\).